"إلى ما لا نهاية وما بعدها!"
هل فكرت بعمق في شعار Buzz Lightyear الشهير من أفلام "قصة لعبة"؟ على الاغلب لا. ولكن ربما كنت أحيانًا تنظر إلى سماء الليل وتساءلت عن طبيعة اللانهاية نفسها.
إنفينيتي مفهوم غريب ، حيث يجد الدماغ البشري صعوبة في لف فهمه المحدود. نقول أن الكون قد يكون لانهائي ، ولكن هل يمكن أن يستمر إلى الأبد؟ أو أرقام pi بعد العلامة العشرية - هل تعمل فعليًا إلى ما لا نهاية ، مما يمنحنا دائمًا المزيد من الدقة حول النسبة بين محيط الدائرة ونصف القطر؟ وهل يمكن أن تكون "باز" على حق؟ هل هناك شيء يتجاوز اللانهاية؟
من أجل معالجة هذه التخمينات المذهلة للعقل ، استعان Live Science بمساعدة عالم الرياضيات Henry Henry Towsner من جامعة بنسلفانيا في فيلادلفيا ، الذي كان لطيفًا بما يكفي لمحاولة الإجابة على السؤال ، "هل يمكنك حساب ما لا نهاية للماضي؟" (كن حذرا: هذا سيصبح خادعا.)
قال توسنر إن إنفينيتي تجلس في مكان غريب: يشعر معظم الناس بأن لديهم بعض الحدس حول المفهوم ، ولكن كلما فكروا فيه أكثر ، كلما أصبح الأمر أكثر غرابة.
وأضاف أن علماء الرياضيات ، من ناحية أخرى ، لا يفكرون في كثير من الأحيان في اللانهاية كمفهوم من تلقاء نفسه. بدلاً من ذلك ، يستخدمون طرقًا مختلفة للتفكير في الأمر من أجل الحصول على جوانب عديدة.
على سبيل المثال ، هناك أحجام مختلفة من اللانهاية. أثبت هذا الأمر عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور في أواخر القرن التاسع عشر ، وفقًا لتاريخ من جامعة سانت أندروز في اسكتلندا.
عرف كانتور أن الأعداد الطبيعية - أي الأعداد الصحيحة الموجبة مثل 1 و 4 و 27 و 56 و 15687 - تستمر إلى الأبد. إنها لا نهائية ، وهي أيضًا ما نستخدمه لحساب الأشياء ، لذا فقد عرّفها بأنها "لا نهائية بشكل كبير" ، وفقًا لموقع مفيد عن التاريخ والرياضيات وموضوعات أخرى من رسام الكاريكاتير التعليمي تشارلز فيشر كوبر.
مجموعات من أعداد لا حصر لها لا تحصى لها بعض الخصائص المثيرة للاهتمام. على سبيل المثال ، الأرقام الزوجية (2 ، 4 ، 6 ، إلخ.) لا نهائية أيضًا. وبينما يوجد من الناحية الفنية نصف العدد الذي يشتمل عليه المجموعة الكاملة من الأرقام الطبيعية ، إلا أنها لا تزال هي نفس النوع اللامتناهي.
بمعنى آخر ، يمكنك وضع جميع الأرقام الزوجية وجميع الأرقام الطبيعية جنبًا إلى جنب في عمودين وسيصبح كلا العمودين إلى ما لا نهاية ، ولكنهما متساويان في "طول" اللانهاية. هذا يعني أن نصف اللانهاية القابلة للعد لا تزال اللانهاية.
لكن بصيرة كانتور العظيمة كانت تدرك أن هناك مجموعات أخرى من الأرقام التي لا حصر لها. الأعداد الحقيقية - التي تشمل الأعداد الطبيعية وكذلك الكسور والأرقام غير المنطقية مثل pi - هي أكثر من اللانهائية من الأعداد الطبيعية. (إذا كنت تريد أن تعرف كيف قام كانتور بذلك ويمكنه التعامل مع بعض الرموز الرياضية ، يمكنك التحقق من ورقة العمل هذه من جامعة مين).
إذا كنت ستصطف جميع الأرقام الطبيعية وجميع الأرقام الحقيقية جنبًا إلى جنب في عمودين ، فإن الأرقام الحقيقية ستمتد إلى ما وراء اللانهاية للأرقام الطبيعية. أصيب كانتور بالجنون لاحقًا ، ربما لأسباب لا علاقة لها بعمله على اللانهاية ، وفقًا لكوبر.
ما هو العد؟
لذا ، نعود إلى مسألة حساب ما لا نهاية للماضي. قال توسنر: "ما تجعلك الرياضيات تسأل عنه ،" ماذا يعني ذلك حقًا؟ "ماذا تقصد بحساب ما لا نهاية في الماضي؟"
من أجل تناول المسألة ، تحدث توسنر عن الأرقام الترتيبية. على عكس الأرقام الأساسية (1 ، 2 ، 3 وما إلى ذلك) ، التي تخبرك بعدد الأشياء الموجودة في مجموعة ، يتم تحديد الترقيات من خلال مواضعها (الأولى والثانية والثالثة وما إلى ذلك) ، كما تم إدخالها في الرياضيات من خلال كانتور ، وفقًا لموقع الرياضيات Wolfram MathWorld.
وقال توسنر في الأرقام الترتيبية مفهوم يسمى أوميغا ، يرمز لها بالحرف اليوناني ω. يتم تعريف الرمز as على أنه الشيء الذي يأتي بعد كل الأرقام الطبيعية الأخرى - أو ، كما أسماها كانتور ، أول ترتيبي غير متناهي.
وقال توسنر إن أحد الأشياء المتعلقة بالأرقام هو أنه يمكنك دائمًا إضافة أخرى في النهاية. لذلك هناك شيء مثل ω + 1 و ω + 2 وحتى ω + ω. (إذا كنت تتساءل ، فقد وصلت في النهاية إلى رقم يسمى ω1 ، والذي يُعرف باسم الترتيبية غير المعدودة الأولى.)
وقال توسنر ، بما أن العد يشبه إلى حد ما إضافة أرقام إضافية ، فإن هذه المفاهيم تسمح لك بطريقة ما بحساب العد اللامتناهي.
وأضاف أن غرابة كل هذا جزء من سبب إصرار علماء الرياضيات على تحديد شروطهم بدقة. ما لم يكن كل شيء في محله ، فمن الصعب فصل حدسنا البشري الطبيعي عما يمكن إثباته رياضياً.
قال توسنر: "الرياضيات تقول لك ، استبطن بعمق ، ما الذي يحسب؟"
بالنسبة لنا مجرد بشر ، قد يكون من الصعب حساب هذه الأفكار بشكل كامل. كيف يتعامل علماء الرياضيات العاملون بالضبط مع كل هذا العمل المضحك في بحثهم اليومي؟
قال توسنر: "الكثير من هذه الممارسات". "أنت تطور حدسا جديدا مع التعرض ، وعندما يفشل الحدس ، يمكنك القول ،" نحن نتحدث عن هذا الدليل الدقيق خطوة بخطوة ". لذلك إذا كان هذا الدليل مفاجئًا ، فلا يزال بإمكاننا التحقق من صحته ، ثم تعلم كيفية تطوير حدس جديد حول ذلك ".
